Einführung in die Proofs


Introduction to Proofs
Copyright © By Larry W. Cusick
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Beweise sind das Herz der Mathematik. Wenn Sie ein Mathe-Major sind, dann müssen Sie sich mit Beweisen kommen – Sie müssen in der Lage zu lesen, verstehen und schreiben Sie sie. Was ist das Geheimnis? Welche Magie haben Sie noch wissen? Die kurze Antwort ist: Es ist kein Geheimnis, kein Geheimnis, keine Magie. Alles was Sie brauchen ist ein wenig gesunden Menschenverstand und ein grundlegendes Verständnis von einigen vertrauten und einfach zu Techniken zu verstehen.
Die Struktur eines Proof

Die grundlegende Struktur eines Beweises ist einfach: es ist nur eine Folge von Anweisungen, die jeweils entweder

  • Eine Annahme oder
  • Ein Abschluss, der folgt offenbar aus einer Annahme oder bereits nachgewiesene Ergebnis.

Und das ist alles. Gelegentlich wird es der Klärung Bemerkung sein, aber das ist nur für den Leser und hat keinen Einfluss auf die logische Struktur des Beweises.
Eine gut geschriebene Beweis fließen wird. Das heißt, sollte der Leser das Gefühl, als ob sie auf einer Fahrt, die sie nimmt direkt und zwangsläufig zum gewünschten Ergebnis ohne Ablenkung über irrelevante Details entnommen werden. Jeder Schritt sollte klar sein, oder zumindest klar gerechtfertigt. Ein guter Beweis ist leicht zu folgen.

Wenn Sie mit einem Beweis fertig sind, gelten die oben genannten einfachen Test, um jeden Satz: Es ist klar (a) eine Annahme oder (b) eine begründete Schlussfolgerung? Wenn der Satz den Test nicht, vielleicht ist es nicht im Beweis gehören.

Ein Beispiel: Die Irrationalität der Quadratwurzel von 2

Um Beweise zu schreiben, müssen Sie in der Lage sein, Beweise zu lesen. Sehen Sie, wenn Sie den Beweis unten folgen können. Nicht etwa, wie würden Sie haben (oder nicht haben) kommen auf die Idee für den Beweis zu kümmern. Lesen Sie den Beweis mit einem Auge in Richtung der oben genannten Kriterien. Ist jeder Satz eindeutig eine Annahme oder eine Schlussfolgerung? Ist das Beweis-Flow? War der Satz in der Tat bewiesen?
Bevor wir den Beweis beginnen, lassen Sie uns daran erinnern, ein paar Definitionen. Eine reelle Zahl heißt rational, wenn es als das Verhältnis zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden kann: p / q. Die alten Griechen glaubten, dass alle Zahlen rational waren. Eine Zahl, die nicht rational ist wäre irrational genannt werden. Sie haben wahrscheinlich glauben, dass p irrational ist. (Es mag Sie überraschen, dass dies nicht leicht zu beweisen.) Als die Griechen bewiesen, dass die Quadratwurzel aus 2 keine rationale Zahl, wurden die Grundlagen der Arithmetik in Frage gestellt. Dies ist einer der Gründe, dass die griechische Geometrie der Folge blühte – alle Zahlen geometrisch könnten ohne Bezug auf Rationalität behandelt werden.

Eine weitere Tatsache, dass wir brauchen, ist der Fundamentalsatz der Arithmetik. Dieses aufregende klingende Satz ist nichts anderes als die Tatsache, dass jede positive ganze Zahl eine eindeutige Darstellung als Produkt von Primzahlen hat. Die Technik der Beweis, den wir benutzen werden, ist Beweis durch Widerspruch. Sie benötigen keine spezielle Kenntnisse zu verstehen, was dies bedeutet. Es ist sehr einfach. Wir gehen davon aus, dass die Wurzel aus 2 eine rationale Zahl ist und dann zu einem Widerspruch. Stellen Sie sicher, Sie verstehen, jede Zeile des Beweises.

Theorem. Die Wurzel aus 2 eine irrationale Zahl ist.

Beweis. Lassen Sie repräsentieren die Quadratwurzel von 2 s durch. Nach Definition erfüllt die Gleichung

s2 = 2 ist.

Wenn s eine rationale Zahl wäre, dann könnten wir schreiben

s = p / q

wobei p und q sind ein Paar von ganzen Zahlen. Infact, indem man zuerst die gemeinsame Vielfache wenn nötig, können wir sogar annehmen, p und q keinen gemeinsamen Vielfachen (außer 1). Wenn wir jetzt ersetzen diese in die erste Gleichung erhalten wir, nach ein wenig Algebra, die Gleichung

p2 = 2 Q2.

Aber jetzt, durch den Fundamentalsatz der Arithmetik, müssen 2 in der Primfaktorzerlegung der Zahl p2 (da es in der gleichen Nummer 2 erscheint Q2) erscheinen. Seit 2 selbst eine Primzahl ist, muss dann 2 in der Primfaktorzerlegung der Zahl p erscheinen. Aber dann würden 22 in der Blüte factoriztion von p2 erscheinen, und somit in 2 Q2. Durch die Aufteilung eine 2, dann erscheint die 2 in der Primfaktorzerlegung von Q2 ist. Wie vor (mit P2) können wir nun folgern 2 ist ein Primfaktor von q. Aber jetzt haben wir p und q teilt einen Primfaktor, nämlich 2. Dies verstößt gegen unsere Annahme (siehe oben, wenn Sie es finden können), daß p und q keinen gemeinsamen Vielfachen außer 1 haben.

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